文章出處：鯨魚幾何與螞蟻幾何
你知道在鯨魚或者螞蟻的世界裡，它們的直線是什麼樣子的嗎？
千萬別以為這個問題聽起來挺無厘頭的，但實際上它和我們人類的幾何學密切相關。
有一本書叫《無言的宇宙：隱藏在24個數學公式背後的故事》，
作者是普林斯頓大學數學博士、科普作家達納-麥肯齊，
在書裡他給我們講了在鯨魚和螞蟻眼裡，直線是什麼樣的。
要知道這個問題，首先得了解“歐式幾何”是什麼。
兩千多年前啊，有一個古希臘數學家，叫歐幾里得，他寫下了幾條公理。
在這幾條公理的基礎上，歐幾里得用純邏輯推理的辦法，
由簡單到復雜地證明了一系列命題，發展出一套體系，
我們把它叫“歐氏幾何”，它被奉為人類理性推理的典範。
但是，後來有人就發現，歐幾里得寫的那幾條公理裡頭，
有一條叫“平行假定”，咱們初中都學過，“通過直線外一點，有且僅有一條平行線”。
好多數學家覺得這條不像其他那幾條那樣無懈可擊。
後來在19世紀上半葉，有三位數學家，分別大膽地開了個腦洞，
那就是，假如說平行假定不成立的話，是不是也能獨立地發展出一套全新的幾何體系？
這套體系和歐式幾何一樣，也是自洽的？
這想法太離經叛道，但顯然數學家們從來不怕這個。
這其中以高斯、波爾約和羅巴切夫斯基為代表，
試圖否定平行假定這條公理，這個過程中就誕生了“非歐幾何”，
也就是“非歐幾里得幾何”的意思。
後來非歐幾何的大部分功績歸給了羅巴切夫斯基，
因為他發明了羅巴切夫斯基幾何，現在的西方數學家也叫它“雙曲線幾何”。
啥叫雙曲線幾何？如果你是頭鯨魚，那在你的世界裡的就是雙曲線幾何。為什麼這麼說？
假定你現在就是頭鯨魚，在海洋深處，因為水里很暗，所以光線沒啥用。
你要靠聲音和外界交流。在你的世界裡，兩點之間的最短距離就是聲波走過的路徑。
對你來說，這就相當於一條直線。
但聲音在海裡的傳播速度並不是處處相等的。
在某個深度範圍，聲速跟它和水面的距離成正比，也就是說，深度越深，聲速就越快。
如果這個時候你要跟你的朋友說句話——
當然啦，他現在和你一樣，也是頭鯨魚，那最省時間的辦法就是，
聲波先向下，去水深的地方，因為那兒聲速比較快嘛，然後再向上傳給你朋友。
科學家告訴我們，更準確地說，聲波走過的路就是一圈圈圓弧，圓心在海洋表面。
這個圓弧對人類來說是“圓”的，但對鯨魚來說，卻是直線。
鯨魚的幾何裡還有很多神奇的事兒，
比如說三角形內角和小於180度、沒有長方形、五邊形的角都可以是直角。
最重要的是，在鯨魚幾何裡，曲率是負的。
這也就是說，最初平行的兩條直線之間，距離會越來越大。
那螞蟻眼裡的幾何是什麼呢？是一種叫球面幾何的東西，也算是非歐幾何。
你可以把自己想像成一隻生活在小行星上的螞蟻，你想去哪都行。
但完全沒有空間的概念，也沒有地下的概念，你知道的一切就是這個球的表面。
在你的世界，曲率是正的、三角形內角和大於180度、長方形不存在，
還能畫出有三個直角的三角形，
而最初平行的兩條直線之間，距離會越來越小，而且最終會相交，恰好和鯨魚的幾何相反。
現在我們知道了，世界上不是只有我們平時經常能摸到、看到的歐式幾何，
還存在著其他形形色色的幾何體系，曲率是區別它們的標準。
就像上面提到的，
螞蟻幾何、歐式幾何、再到鯨魚幾何，但故事還沒完，這三種不過是曲率不變的幾何。
我們還可以繼續想像那些曲率隨著地點改變的幾何，他們可以是二維、三維甚至更高維的。
高斯是第一個理解二維空間裡曲率變化的數學家，
而他的學生黎曼後來把這個概念推廣到了更高維。
你可能會問了，那個時候就研究出這些抽象的數學理論有啥用呢？
如果你穿越時空回去問高斯或者黎曼，他倆的答案肯定也是——不知道。
但60年以後，愛因斯坦的廣義相對論發表，這個理論假設，我們的四維時空曲率處處不同。
如果沒有羅巴切夫斯基、波爾約、高斯和黎曼“離經叛道”、敢於打破完美理論的勇氣，
愛因斯坦可能就沒辦法寫下他理論中的方程。
本文源自：《無言的宇宙：隱藏在24個數學公式背後的故事》，作者達納•麥肯齊
稿：星光
轉載:得到
-----
主旨：
兩千多年前啊，有一個古希臘數學家，叫歐幾里得，他寫下了幾條公理。
在這幾條公理的基礎上，歐幾里得用純邏輯推理的辦法，
由簡單到復雜地證明了一系列命題，發展出一套體系，
我們把它叫“歐氏幾何”，它被奉為人類理性推理的典範。
後來在19世紀上半葉，有三位數學家，分別大膽地開了個腦洞，
那就是，假如說平行假定不成立的話，是不是也能獨立地發展出一套全新的幾何體系？
這其中以高斯、波爾約和羅巴切夫斯基為代表，
試圖否定平行假定這條公理，這個過程中就誕生了“非歐幾何”，
也就是“非歐幾里得幾何”的意思。
你知道在鯨魚或者螞蟻的世界裡，它們的直線是什麼樣子的嗎？
千萬別以為這個問題聽起來挺無厘頭的，但實際上它和我們人類的幾何學密切相關。
有一本書叫《無言的宇宙：隱藏在24個數學公式背後的故事》，
作者是普林斯頓大學數學博士、科普作家達納-麥肯齊，
在書裡他給我們講了在鯨魚和螞蟻眼裡，直線是什麼樣的。
要知道這個問題，首先得了解“歐式幾何”是什麼。
兩千多年前啊，有一個古希臘數學家，叫歐幾里得，他寫下了幾條公理。
在這幾條公理的基礎上，歐幾里得用純邏輯推理的辦法，
由簡單到復雜地證明了一系列命題，發展出一套體系，
我們把它叫“歐氏幾何”，它被奉為人類理性推理的典範。
但是，後來有人就發現，歐幾里得寫的那幾條公理裡頭，
有一條叫“平行假定”，咱們初中都學過，“通過直線外一點，有且僅有一條平行線”。
好多數學家覺得這條不像其他那幾條那樣無懈可擊。
後來在19世紀上半葉，有三位數學家，分別大膽地開了個腦洞，
那就是，假如說平行假定不成立的話，是不是也能獨立地發展出一套全新的幾何體系？
這套體系和歐式幾何一樣，也是自洽的？
這想法太離經叛道，但顯然數學家們從來不怕這個。
這其中以高斯、波爾約和羅巴切夫斯基為代表，
試圖否定平行假定這條公理，這個過程中就誕生了“非歐幾何”，
也就是“非歐幾里得幾何”的意思。
後來非歐幾何的大部分功績歸給了羅巴切夫斯基，
因為他發明了羅巴切夫斯基幾何，現在的西方數學家也叫它“雙曲線幾何”。
啥叫雙曲線幾何？如果你是頭鯨魚，那在你的世界裡的就是雙曲線幾何。為什麼這麼說？
假定你現在就是頭鯨魚，在海洋深處，因為水里很暗，所以光線沒啥用。
你要靠聲音和外界交流。在你的世界裡，兩點之間的最短距離就是聲波走過的路徑。
對你來說，這就相當於一條直線。
但聲音在海裡的傳播速度並不是處處相等的。
在某個深度範圍，聲速跟它和水面的距離成正比，也就是說，深度越深，聲速就越快。
如果這個時候你要跟你的朋友說句話——
當然啦，他現在和你一樣，也是頭鯨魚，那最省時間的辦法就是，
聲波先向下，去水深的地方，因為那兒聲速比較快嘛，然後再向上傳給你朋友。
科學家告訴我們，更準確地說，聲波走過的路就是一圈圈圓弧，圓心在海洋表面。
這個圓弧對人類來說是“圓”的，但對鯨魚來說，卻是直線。
鯨魚的幾何裡還有很多神奇的事兒，
比如說三角形內角和小於180度、沒有長方形、五邊形的角都可以是直角。
最重要的是，在鯨魚幾何裡，曲率是負的。
這也就是說，最初平行的兩條直線之間，距離會越來越大。
那螞蟻眼裡的幾何是什麼呢？是一種叫球面幾何的東西，也算是非歐幾何。
你可以把自己想像成一隻生活在小行星上的螞蟻，你想去哪都行。
但完全沒有空間的概念，也沒有地下的概念，你知道的一切就是這個球的表面。
在你的世界，曲率是正的、三角形內角和大於180度、長方形不存在，
還能畫出有三個直角的三角形，
而最初平行的兩條直線之間，距離會越來越小，而且最終會相交，恰好和鯨魚的幾何相反。
現在我們知道了，世界上不是只有我們平時經常能摸到、看到的歐式幾何，
還存在著其他形形色色的幾何體系，曲率是區別它們的標準。
就像上面提到的，
螞蟻幾何、歐式幾何、再到鯨魚幾何，但故事還沒完，這三種不過是曲率不變的幾何。
我們還可以繼續想像那些曲率隨著地點改變的幾何，他們可以是二維、三維甚至更高維的。
高斯是第一個理解二維空間裡曲率變化的數學家，
而他的學生黎曼後來把這個概念推廣到了更高維。
你可能會問了，那個時候就研究出這些抽象的數學理論有啥用呢？
如果你穿越時空回去問高斯或者黎曼，他倆的答案肯定也是——不知道。
但60年以後，愛因斯坦的廣義相對論發表，這個理論假設，我們的四維時空曲率處處不同。
如果沒有羅巴切夫斯基、波爾約、高斯和黎曼“離經叛道”、敢於打破完美理論的勇氣，
愛因斯坦可能就沒辦法寫下他理論中的方程。
本文源自：《無言的宇宙：隱藏在24個數學公式背後的故事》，作者達納•麥肯齊
稿：星光
轉載:得到
-----
主旨：
兩千多年前啊，有一個古希臘數學家，叫歐幾里得，他寫下了幾條公理。
在這幾條公理的基礎上，歐幾里得用純邏輯推理的辦法，
由簡單到復雜地證明了一系列命題，發展出一套體系，
我們把它叫“歐氏幾何”，它被奉為人類理性推理的典範。
後來在19世紀上半葉，有三位數學家，分別大膽地開了個腦洞，
那就是，假如說平行假定不成立的話，是不是也能獨立地發展出一套全新的幾何體系？
這其中以高斯、波爾約和羅巴切夫斯基為代表，
試圖否定平行假定這條公理，這個過程中就誕生了“非歐幾何”，
也就是“非歐幾里得幾何”的意思。
後來非歐幾何的大部分功績歸給了羅巴切夫斯基，
因為他發明了羅巴切夫斯基幾何，現在的西方數學家也叫它“雙曲線幾何”。
而鯨魚的世界裡的就是雙曲線幾何。
兩點之間的最短距離就是聲波走過的路徑，對鯨魚就相當於一條直線。
鯨魚的幾何裡還有很多神奇的事，
比如說三角形內角和小於180度、沒有長方形、五邊形的角都可以是直角。
最重要的是，在鯨魚幾何裡，曲率是負的。
這也就是說，最初平行的兩條直線之間，距離會越來越大。
螞蟻眼裡的幾何，是球面幾何，也算是非歐幾何。
曲率是正的、三角形內角和大於180度、長方形不存在，
還能畫出有三個直角的三角形，
而最初平行的兩條直線之間，距離會越來越小，
因為他發明了羅巴切夫斯基幾何，現在的西方數學家也叫它“雙曲線幾何”。
而鯨魚的世界裡的就是雙曲線幾何。
兩點之間的最短距離就是聲波走過的路徑，對鯨魚就相當於一條直線。
鯨魚的幾何裡還有很多神奇的事，
比如說三角形內角和小於180度、沒有長方形、五邊形的角都可以是直角。
最重要的是，在鯨魚幾何裡，曲率是負的。
這也就是說，最初平行的兩條直線之間，距離會越來越大。
螞蟻眼裡的幾何，是球面幾何，也算是非歐幾何。
曲率是正的、三角形內角和大於180度、長方形不存在，
還能畫出有三個直角的三角形，
而最初平行的兩條直線之間，距離會越來越小，
而且最終會相交，恰好和鯨魚的幾何相反。
研究出這些抽象的數學理論有啥用呢？
如果你穿越時空回去問高斯或者黎曼，他倆的答案肯定也是——不知道。
但60年以後，愛因斯坦的廣義相對論發表，這個理論假設，我們的四維時空曲率處處不同。
如果沒有羅巴切夫斯基、波爾約、高斯和黎曼“離經叛道”、敢於打破完美理論的勇氣，
愛因斯坦可能就沒辦法寫下他理論中的方程。
研究出這些抽象的數學理論有啥用呢？
如果你穿越時空回去問高斯或者黎曼，他倆的答案肯定也是——不知道。
但60年以後，愛因斯坦的廣義相對論發表，這個理論假設，我們的四維時空曲率處處不同。
如果沒有羅巴切夫斯基、波爾約、高斯和黎曼“離經叛道”、敢於打破完美理論的勇氣，
愛因斯坦可能就沒辦法寫下他理論中的方程。
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